Kegunaan Pola Bilangan Segitiga Pascal

1. Mencari lintasan terpendek dari
   lokasi yang mempunyai banyak percabangan.

Pada gambar di atas tampak ada 56 titik, jika kita menghitung berapa banyak lintasan terpendek dari L19 ke L29, maka ada 3 lintasan terpendek, yaitu:

1. L19-L20-L21-L29

2. L19-L20-L28-L29

3. L19-L27-L28-L29

Dan untuk mengetahui bahwa banyak lintasan terpendek dari L19 ke L29
bahwa ada 3 lintasan, dapat dipergunakan pola bilangan segitiga pascal, pertama kita harus menghitung berapa jarak horizontal dan jarak vertical dari L19 ke L29. Jika kita anggap jarak dari 1 titik ke titik terdekat di sekitarnya adalah 1 garis, maka jarak horizontal dari L19 ke L29 adalah adalah 2 garis, dan jarak vertical dari L19 ke L29 adalah 1 garis, maka banyak lintasan terdekat dari L19 ke L29 adalah koefisien dari bilangan a²b¹ atau koefisien dari a¹b² yaitu 3, karena kita tahu bahwa:

(a+b)²⁺¹ = (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Contoh lain, jika kita ingin mencari banyaknya lintasan terpendek dari L27 ke L55, karena jarak horizontalnya 4 dan jarak vertikalnya 3, maka banyak lintasannya adalah bilangan segitiga Pascal yang merupakan koefisien dari a⁴b³ atau koefisien dari a³b⁴ yaitu 35 karena kita tahu bahwa:

(a+b)⁴⁺³ = (a+b)³⁺⁴ = (a+b)⁷ = 1a⁷ + 7a⁶b¹ + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7a¹b⁶ + 1b⁷

2. Mengetahui banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan

   
   

Untuk mengetahui banyaknya suatu himpunan bagian seluruhnya
dari suatu himpunan yang anggotanya ada n unsur dapat menggunakan rumus 2ⁿ dimana n adalah banyak anggota himpunan. Misalnya jika
kita ingin tahu banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan A = {a,b,c,d}, kita
tahu bahwa banyak anggota dari himpunan A adalah 4, yaitu a,b,c dan d, maka kita
bisa langsung mengetahui banyaknya himpunan bagian dari himpunan A tersebut
dengan dengan rumus 2ⁿ = 2⁴ = 16. Himpunan bagiannya
adalah sebagai berikut.

1. A_{1 =} { }




2. A_{2 =} {a}




3. A_{3 =} {b}




4. A_{4 =} {c}




5. A_{5 =} {d}




6. A_{6 =} {a,b}




7. A_{7 =} {a,c}




8. A_{8 =} {a,d}




9. A_{9 =} {b,c}




10. A_{10 =} {b,d}




11. A_{11 =} {c,d}




12. A_{12 =} {a,b,c}




13. A_{13 =} {a,b,d}




14. A_{14 =} {a,c,d}




15. A_{15 =} {b,c,d}




16. A_{16 =} {a,b,c,d}

Tetapi, bagaimana kalau yang
diminta adalah banyaknya himpunan bagian yang hanya mempunyai 2 unsur?. Nah
untuk persoalan semacam ini pola bilangan segitiga pascal bisa lagi dimanfaatkan,
karena A mempunyai 4 anggota, maka banyaknya himpunan bagian yang hanya memiliki
2 unsur adalah angka pada pola bilangan pascal pada baris ke (4+1) kolom ke
(2+1) atau pola bilangan pascal pada baris ke 5 kolom ke 3 yaitu angka 6, Jadi
banyaknya himpunan bagian yang hanya memiliki 2 unsur adalah sebanyak 6, yaitu:

1. A_{6 =} {a,b}




2. A_{7 =} {a,c}




3. A_{8 =} {a,d}




4. A_{9 =} {b,c}




5. A_{10 =} {b,d}




6. A_{11 =} {c,d}

Dari uraian di atas, dapat
dibuat prumuman, untuk mencari himpunan bagian dari n anggota yang hanya
mempunyai k unsur, yaitu angka pada pola bilangan segitiga pascal pada baris ke
(n+1) kolom ke (k+1)

3. Mengetahui besarnya peluang
   suatu kejadian dari pelemparan beberapa mata uang.

Dalam menentukan banyaknya
peluang dari pelemparan beberapa mata uang (dimana sisi mata uang ada dua, yaitu
sisi Angka dan sisi Gambar), kita harus membuat tabel data yang menunjukkan
beberapa kemungkinan kejadian. Semakin banyak mata uang yang digunakan, akan
semakin banyak pula datanya seperti yang terlihat pada tabel-tabel berikut :

• Kemungkinan darii 1 mata uang
  (Picture1)

  
  



• Kemungkinan darii 2 mata uang
  (picture 2)

  
  



• Kemungkinan dari 3 mata uang
  (picture 3)

  
  

Jika ada 4 mata uang yang digunakan, maka akan diperoleh
kemungkinan yang jumlah datanya sama dengan bilangan pada Segitiga Pascal baris
ke-5 sebagai berikut :

kemungkinan A seluruhnya adalah : 1

kemungkinan 3A dan 1G adalah : 4

kemungkinan 2A dan 2G adalah : 6

kemungkinan 1A dan 3G adalah : 4

kemungkinan G seluruhnya adalah : 1

Dengan menggunakan Segitiga Pascal dapat mempermudah menjawab
persoalan teori kemungkinan. Sebagai contoh : tentukan banyaknya kemungkinan
pelemparan 4 mata uang yang diharapkan terbukanya 3A dan 1G. Penyelesaiannya
dapat dilakukan dengan mudah dan cepat yaitu melihat baris ke-5 dari segitiga
Pascal. Banyaknya kemungkinan dengan terbukanya 3A dan 1G adalah 4 kemungkinan,
karena 4 merupakan koefisien dari a³b¹, karena kita tahu
bahwa:

(a+b)⁵ = 1a⁵ + 4a⁴b + 6a³b² + 4ab⁴ + 1b⁵

dan banyak seluruh kemungkinan adalah 2⁴ = 16

sehingga kita dapat megetahui bahwa peluang munculnya 3 Angka
dan 1 Gambar adalah 4/16 = ¼

Contoh lain, tentukan banyaknya kemungkinan
pelemparan 7 mata uang yang diharapkan terbukanya 5A dan 2G. Penyelesaiannya
dapat dilakukan dengan mudah dan cepat yaitu melihat baris ke-8 dari segitiga
Pascal. Banyaknya kemungkinan dengan terbukanya 5A dn 2G adalah 21 kemungkinan,
dan banyak seluruh kemungkinan adalah 2⁷ = 128

Jadi peluang munculnya 5 Angka dan 2 Gambar adalah
21/128